Clase 21 de enero de 2016 (II)

Querido diario:

 hoy nuestro profesor nos ha dejado planteadas algunas preguntas relacionadas con lo dado en clase.

¿QUÉ ES UNA RELACIÓN BINARIA?

Es la relación R que existe entre dos elementos a y  b, de dos conjuntos A y B respectivamente. El elemento a está relacionado con b. Se puede escribir de varias maneras:

- Como pares ordenados (a,b)

- Indicando que aRb

- Una mezcla entre los anteriores R (a,b)

Esta relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier concepto referido con el conjunto.

Se puede representar de dos formas:

* Diagrama cartesiano: se representan los ejes y después en cada eje los elementos de cada conjunto. Las relaciones se representan mediante puntos.

* Diagrama sagital o flechas mediante el Diagrama de Venn: se representan los elementos dentro de un círculo y las relaciones mediante flechas.

Propiedades (no tienen por qué cumplir todas, incluso pueden no cumplir ninguna), dado un conjunto A y una relación R entre el conjunto AXA.

● Reflexiva: todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo (para todo elemento de A x, entonces xRx)

● Simétrica: dados dos elementos cualquiera del conjunto A se cumple que si el primer elemento está relacionado con el segundo, el segundo está relacionado con el primero. Si xRy entonces yRx

● Antisimétrica: dados dos elementos del conjunto si el primer elemento está relacionado con el segundo, el segundo no está relacionado con el primero. Si xRy entonces y no Rx 

● Transitiva: dados tres elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, y el segundo relacionado con el tercero, entonces el primero también está relacionado con  el tercero. Si xRy e yRz entonces xRx

● Conexa: dados dos elementos cualesquiera del conjunto éstos están relacionados. O bien xRy o bien yRx

¿QUÉ ES UNA OPERACIÓN BINARIA?

Es aquella en la que intervienen dos operandos.

Dados tres conjuntos A, B,  C una operación binaria producto es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un sólo valor c de C.    A x B ------  C

 Clasificación:

Internas

A cada par de valores (a,b) de A^2 le corresponde un valor c de A

A x A ---- A

(a,b) ---- c = a*b

También se le llama ley de composición interna, por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones V^3 y la adición de vectores se tiene que la suma de dos vectores de V^3 es otro vector de V^3:

V^3 x V^3 ---- V^3

(a,b) ---- c = a + b

Externas

- Si a cada par de valores a de A y b de B se le asigna un valor c de A

A x B ---- A

(a,b) ---- c = a*b

También se le llama ley de composición externa, por ejemplo un vector por escalar 

V^3 x V^3 ---- V^3

(a,b) ---- c = a * b

- Si la operación es de la forma 

A x A ---- B

(a,b) ---- c = a*b 

Cada par de valores a,b de A se le asigna un c de B. Esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real.

-Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conjuntos distintos.

AxB ---- C

(a,b) ---- c = a*b 

Tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional.