Clase 25 de abril de 2016

Querido diario:
hoy henos empezado el nuevo tema 13 que nos habla sobre las derivadas!!
Antes de dar el concepto principal debemos conocer otros anteriores.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

TASA  DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

Si f ' (X0) pertenece al dominio de la función se dice que f es derivable en X0


FUNCIÓN DERIVABLE
Una función es derivable cuando es derivable en todos sus puntos.
f derivable--- función derivada de f
Notación: f '

¿Qué relación hay entre el Dom f ' y Dom f?
● Si es derivable son el mismo.
● Si f no es derivable en algún punto el Dom f ' está contenido en el Dom f


Vamos a estudiar ahora la función polinómica de primer grado o función afín:
Su expresión es  y = ax + b , además sabemos que la tangente del ángulo es a.
Calculamos la TVM

La TVM no depende de X1 ni de X2.
TVM es siempre constante en la función afín.
La función derivada de la función afín es la constante a.


Vamos a estudiar la TVM de estas dos funciones:

●La TVM de f y de g son iguales
●La interpretación geométrica de TVM [ g (X1,X2)] es la pendiente de la función f.
●TVM [g (X1,X3)] es la pendiente de la secante.
●Interpretación geométrica de la derivada en un punto: la secante termina siendo la tangente.





Ecuación de la recta tangente en X1 (punto-pendiente):

Ecuación recta normal (recta perpendicular a la tangente):

Gráficas cuya derivada es 0

Proposición: si f es derivable en X0 entonces es derivable por la izquierda y por la derecha, además la derivada por la izquierda en ese punto es igual a la derivada de la derecha en ese punto.

*La recíproca no es cierta porque no implica que haya recta tangente (osea derivada).

Clase 19 de abril de 2016

Querido diario:
aunque ya hemos realizado el examen de este tema vamos a profundizar algunos conceptos más!!

INFINITOS E INFINITÉSIMOS
f se dice infinito en X0 si el límite de f cuando x tiende a Xo es +- infinito

Ejemplos:
x en infinito
1/x^2 cuando x=0
-5x^3 en -infinito

f se dice infinitésimo en X0 si el límite de f cuando x tiende a X0 es 0

Ejemplos:
1/x en + infinito
x en 0
sen x en 0

COMPARACIÓN DE INFINITOS
Tenemos la función f y la función g que son infinitos en X0, sus límites cuando x tiende a X0 son +- infinito, debemos estudiar el límite del cociente:

Ejemplo:

Proposición: cuando calculo el límite de producto o cociente si un factor es un infinito puedo sustituirlo por su infinito equivalente.

COMPARACIÓN DE INFINITÉSIMOS

Si f y g son infinitésimos en X0 debemos estudiar el límite del cociente y los casos serán los mismos que en los infinitos (explicado arriba), es decir cuando obtengamos como resultado 1, serán infinitésimos equivalentes.

Aquí dejo una tabla de infinitésimos equivalentes que puede ser muy útil!!

Clase 12 de abril de 2016

Querido diario:
seguimos trabajando algunos conceptos más de este tema!

CONTINUIDAD LATERAL EN UN PUNTO
f se dice continua por la izquierda en X0 si existe el límite por la izquierda, la imagen (osea que X0 es del dominio) y además son iguales.
f se dice continua por la derecha en X0 si existe límite por la derecha, la imagen y además son iguales.

Proposición: una función es continua en X0 si sólo si es continua por la izquierda en X0 y por la derecha en X0.

Ejemplos de discontinuidades:

FUNCIÓN CONTINUA (globalmente)
Una función es continua si lo es en todos los puntos del dominio.

FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO
f se dice continua en (a,b) si es continua en todos los puntos del intervalo.

Ejemplo: ESTUDIO CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN A TROZOS

●En (-infinito, 2) es continua por ser constante
●En (2, +infinito) es continua por ser racional y no hacerse 0 el denominador (se hace fuera de este trozo)
● En x = 2

f tiene una discontinuidad de salto finito en x = 2
El salto es 5
f es continua por la izquierda en x = 2




ASÍNTOTAS VERTICALES
Cuando f tiene una discontinuidad de salto infinito en X0, la asíntota vertical de f es X= X0

ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Dados los siguientes casos:

En el primero señalado Y = Y0 es una asíntota horizontal de f cuando x tiende a -infinito.
En el segundo Y = Y1 es una asíntota horizontal de f cuando x tiende a + infinito

Ejemplo: 

 Y = 1 es asíntota horizontal cuando x tiende a - infinito

Y = 0 es asíntota horizontal cuando x tiende a + infinito

ASÍNTOTAS OBLICUAS

Sólo aparecen si no hay asíntotas horizontales.

Proposición que debemos conocer para poder estudiarlas: 

Ejemplo:  Halla las asíntotas de la siguiente función

Asíntotas verticales: 

x^2 + 1 = 0 no tiene solución por lo tanto no hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales:

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas:

Clase 7 de abril de 2016

Querido diario:
seguimos avanzando en el tema de límites funcionales!

DEFINICIÓN TOPOLÓGICA DE UN LÍMITE FUNCIONAL

DEFINICIÓN OPERATIVA DE LÍMITE FUNCIONAL

LÍMITES  DE FUNCIONES ELEMENTALES

Función constante

Función identidad

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

f se dice continua en X0 si:

Ejemplo:¿ es f continua en 0?

No porque la imagen y el límite no son iguales ( no se cumple la tercera condición)

Decimos que f tiene una discontinuidad evitable en X0

Ejemplo: f(x) = x/x

Esta función es siempre 1 excepto en 0 que no existe.

No es continua en 0.

f tiene una discontinuidad evitable

LÍMITES FUNCIONALES LATERALES

Ejemplo: estudia su continuidad en 0

No es continua en 0.

No hay límite global. Si tenemos dos límites laterales y son reales y distintos, f tiene una discontinuidad de salto finito.

El salto es igual al valor absoluto de la resta de los límites, en este caso es 2.

Importante!!

Clase 4 de abril de 2016

Querido diario:
antes de dar el concepto principal del tema 12 (límites funcionales) explicaremos algunas cuestiones.
Las funciones se pueden clasificar en :
- Polinómicas (grado 0,1,2...)
- Potenciales

- Racionales (es el cociente entre dos polinómicas). Por ejemplo : y = x^2-1 / x+1

-Irracionales: x^(1/2)

Expresar una función como operaciones más sencillas:

Cuando ya hablamos de límites en el tema de sucesiones decíamos que era "acercarse a", aparecían los ENTORNOS que pueden ser: 

Los límites en funciones van del conjunto R al conjunto R y según a dónde "se acerquen" la x y f(x) podemos tener 9 casos:

Si nos centramos en la x podemos encontrar:

- Entorno reducido de X0: en este caso quitamos el X0 

- Entorno lateral de X0

   ●Entorno por la izquierda de X0: 

   ●Entorno por la derecha de X0: 

IMAGEN

-De una función 

-De un número 

-De un subconjunto