Clase 27 de octubre de 2015(III)

Querido diario:
hoy hemos hablado de la división entera. Hablaremos de dos casos. Pero antes debemos conocer el concepto de algoritmo.

¿Algoritmos?

Algoritmo es el término que define una serie de pasos o reglas a seguir para resolver determinado problema. Un algoritmo es como una receta, que indica lo que debemos hacer para obtener el resultado que buscamos. En otras palabras, es una explicación sobre como resolver un problema pero definida paso por paso, de manera clara y precisa, no habiendo espacio para ambigüedades.

DIVISIÓN ENTERA EN LOS NÚMEROS REALES

Algoritmo de la división entera

DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS 

Algoritmo de la división entera de polinomios

Clase 27 de octubre de 2015 (II)

Querido diario:
ya que últimamente hablamos tanto de los polinomios voy a explicar cómo se opera con ellos.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Para sumar  polinomios se agrupan los monomios semejantes y se efectúa la operación correspondiente.

Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo.

MULTIPLICACIÓN 

El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene al multiplicar cada uno de los términos del primero por cada uno de los términos del segundo, agrupando y operando términos semejantes. 

DIVISIÓN 

Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera :

1. Se ordena el diviendo y divisor de mayor a menor exponente comenzando con el término principal.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,  obteniéndose así el primer término del cociente.

3. Se  multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe debajo de su término semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, se escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y divisor.

4. Se divide el primer término  del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose así el segundo término del cociente.

5. El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta que el grado del dividendo sea menor que el del divisor.

Regla de Ruffini 

Método que permite conocer de forma fácil y rápida los coeficientes del polinomio cociente y el resto.  Sólo puede aplicarse cuando el divisor es un polinomio de la forma x-a. Para dividir un polinomio  P(x) entre un polinomio Q (x) mediante la regla de Ruffini se procede del siguiente modo:

1. Se ordena el polinomio P (x) de mayor a  menor grado y se colocan los coeficientes de cada término.  Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que resta a x en Q (x) y se baja el coeficiente del término  de mayor grado.

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado por el que se ha colocado a la izquierda.  El resultado del producto se coloca debajo del  coeficiente del término siguiente y se suman.

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso.

4. El último número se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente. 

Clase 27 de octubre de 2015(I)

Querido diario:
antes de seguir con el tema me gustaría decir que he hecho algún apunte en la entrada del día 26 de octubre y en la del 20 de octubre, aparecerá en rojo como aclaración al final de la entrada.

Clase 26 de octubre de 2015

Querido diario:
el tema de la clase de hoy han sido los POLINOMIOS. Los polinomios en términos generales son expresiones algebraicas ( formadas por números, operaciones y letras que actúan como números)

¿Cómo se expresa un polinomio? ¿Cuáles son sus partes?

Vamos a analizar el coeficiente del monomio:

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

RAÍZ DE UN POLINOMIO
Son los números cuyo valor numérico es 0.

FUNCIÓN POLINÓMICA

Aclaración:

¿Qué pasa si en el coeficiente la n es 0?

Cuando tenemos en una expresión algebraica un monomio de coeficiente 0 tendemos a quitarlo, pero ¿ Qué pasaría si tenemos un polinomio 0 con coeficiente 0? ¿ Cuáles serían sus raíces? 

 Todos los números serían sus raíces debido a esa ecuación. 

Clase 23 de octubre de 2015 (III)

Querido diario:
en clase mi profesor nos ha dicho que este fin de semana nos enviaría un artículo sobre la vida de tres matemáticos para leerlo y reflexionar:
http://historiaybiografias.com/disputas_matematicas/


Esta podría ser la conclusión de la historia, pero claramente no se podría haber llegado a esto sin del Ferro y Tartaglia. Todos querían mantener sus descubrimientos matemáticos a escondidas y esto lo complicó todo y por eso hubo tantos problemas entre unos y otros. ¿Qué hubiese pasado si en vez de estar enfrentados hubiesen trabajado juntos con el mismo objetivo?

Clase 23 de octubre de 2015 (II)

Querido diario:
para comenzar el tema resolveré cuestiones iniciales que propone el libro que son muy sencillas y de repaso:

Estas divisiones las he resuelto mediante el método Rufini.

BIOGRAFÍA PAOLO RUFFINI 
Nació en Valentano y murió en Módena
Estudió matemáticas, literatura, filosofía, medicina y biología en la Universidad de Módena. Fue médico y matemático
Después de graduarse fue nombrado en 1788 profesor de Fundamentos de Análisis y de Elementos Matemáticos en la universidad de Módena, de la cual fue nombrado rector en 1814.
En 1791 obtuvo permiso para impartir clases de clínica médica en la misma Universidad
Después de ocupar las tropas de Napoleón la ciudad de Módena, fue nombrado, en 1796, representante del Departamento de Paramo en el Consejo de la República Cisalpina creada por Napoleón. Dos años después reanudó sus actividades científicas y al negarse a pronunciar el juramento de fidelidad a la República Cisalpina fue apartado de sus actividades docentes y cargos públicos.
En 1799 al entrar los austriacos en Módena le fueron devueltas sus cátedras. En 1806 pasó a enseñar matemáticas aplicadas en la Escuela Militar.
Durante 1817-1818 estudió la enfermedad del tifus al declararse una epidemia.
Perteneció a las más doctas corporaciones de la Italia de su tiempo y llegó a ser Presidente del Instituto Italiano de las Ciencias.                  

Fue calificado como el matemático más genial de su época.



 PRINCIPALES APORTACIONES A LAS MATEMÁTICAS
1. Estableció las bases de la Teoría de las transformaciones de ecuaciones.
2. Investigación sistemática de las permutaciones finitas
3. Descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones (1814)
4. Regla de Ruffini que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el monomio x-a5.Se anticipó a la teoría de grupos desarrollada más tarde por Galois
6.Demostró la imposibilidad de resolver por cuadraturas las ecuaciones de grado superio cuatro
7.Introdujo la noción de orden de un elemento, conjugación, descomposición cíclica de los elementos de los grupos de permutación y de primitiva.

Clase 23 de octubre de 2015 (I)

Querido diario:
hoy hemos comenzado con el tema de polinomios, ecuaciones y sistemas.
Antes de empezar debemos saber qué es un polinomio y para ello pondré varios ejemplos que sí lo sean y otros que no:

1. No es un polinomio, es una operación de polinomios (su solución sí que lo sería).

2. Sí es un polinomio.

3. Sí es un polinomio.

4. No es un polinomio porque hay una división.

5. No es un polinomio.

6. No es un polinomio.

7. No es un polinomio, es una división de polinomios. 

8. No es un polinomio.

9. Sí es un polinomio. 

10. Sí es un polinomio.

11. Sí es un polinomio. 

12. No es un polinomio,  es una operación de polinomios  (su solución sí que lo sería).

POLINOMIOS SEGÚN SUS COEFICIENTES 

(Esto significa conjunto de polinomios con coeficientes...)

Ejemplo :

Clase 20 de octubre de 2015 (III)

Querido diario:
tras haber hablado anteriormente de la racionalización me gustaría hacer un repaso sobre los tres casos que podemos encontrar :
1. Si el denominador contiene un solo  término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

2. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente n.

3. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador( si es una suma se multiplica por una resta y viceversa )

Clase 20 de octubre de 2015 (II)

Querido diario:
el tema de la clase de hoy ha sido la RACIONALIZACIÓN . Para poder hablar de esto, tendremos  que saber qué es exactamente.
Racionalizar significa quitar el radical del denominador. Pero debemos saber diferenciarlo de realizar una operación. Para poder entenderlo bien aquí dejo algunos ejemplos :

Cómo siempre, a partir de esto podemos sacar la siguiente proposición :

Clase 20 de octubre de 2015 (I)

Querido diario:
lo prometido es deuda, así que hoy explicaré lo que son los números algebraicos.
Los NÚMEROS ALGEBRAICOS son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números RACIONALES.

Según  esta definición todos los números racionales son algebraicos, ya que si  es un número racional (por tanto ), entonces  es solución de la ecuación polinómica .

Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional  es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica  para darse cuenta de ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, , que es solución de . Así con muchos más números.

Aclaración :
debido a la explicación de las raíces en los polinomios (entrada día 26) un número algebraico se podría definir como números reales que son raíces de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. 

Clase 19 de octubre de 2015 (II)

Querido diario:
durante la clase de hoy hemos vuelto a hablar de las ecuaciones diofánticas y las ternas pitagóricas.
Todo esto comenzó a partir de una de las identidades notables :

Nos empezamos a plantear que pasaría si restásemos las dos identidades y así lo resolvimos:

Después seguimos pensando un poco más...e intentamos plantear la identidad partiendo de la misma que antes pero elevada al cuadrado:

Esta es una ECUACIÓN DIOFÁNTICA. 

Ahora la relacionaremos con la que trabajamos el otro día :

A partir de todo este proceso vamos a realizar una tabla para obtener más ternas pitagóricas  (aparte de la que ya conocemos )

*En las dos primeras las soluciones son triviales. Esto sucede porque m y n son iguales o porque una de las soluciones es negativa y no tendría mucho uso.

Clase 19 de octubre de 2015 (I)

Querido diario:
hoy hemos estado hablando sobre los números radicales, racionales, irracionales, reales...
Comencemos con los radicales; tras probar con diferentes números tanto positivos como negativos sacamos la siguiente conclusión :

Un ejemplo de un número que no es radical sería el número PI 

Esto es porque el radicando siempre tiene que ser racional.

Tomemos R para hablar de el conjunto de números radicales.
Planteamos la siguiente proposición de tipo implicación :

Esto quiere decir que todos los números  racionales son radicales.
Otra forma de expresarlo sería:

Sin embargo la proposición : si p pertenece a los números radicales entonces p pertenece a los números racionales es una proposición falsa. El contraejemplo sería la raíz cuadrada de 2.


Para poder "agrupar" de alguna manera todos los conceptos de racional, real...y poder entenderlo hemos hecho el DIAGRAMA DE VENN

**Más tarde hablaremos sobre los números algebraicos.

19 de octubre de 2015/ Reflexión sobre el aprendizaje de las matemáticas

Querido diario:
hace unos días mi profesor de matemáticas nos envió un enlace con un documento en el que hablaba sobre un método de trabajo de la asignatura probado en otro país. En él  hablaba sobre el trabajo en grupo, la investigación por parte del alumno y su frustración cuando no entendía o no encontraba algo y cómo después el propio alumno decía que después de trabajar duro durante el curso podía asegurar que había aprendido un montón...¿ Irán por ahí los tiros de mi profesor? Aquí dejo el link para que se pueda leer y reflexionar...
http://www.jstor.org/stable/10.4169/mathhorizons.23.1.26?seq=1#page_scan_tab_contents

Clase 16 de octubre de 2015

Querido diario:
durante la clase hemos estado resolviendo algunos ejercicios que nos plantea el libro.
Uno de ellos nos pedía calcular el centro y el radio del entorno al que corresponde el intervalo  (-3,6) , así lo hemos resuelto :

El otro que hicimos nos daba una igualdad y teníamos que demostrar  si era verdad o mentira :