Clase 30 de mayo de 2016

Querido diario:
durante la clase de hoy hemos hecho un par de ejemplos de cómo se hace el estudio completo de una función.

Lo primero que debemos saber es qué debemos estudiar:
1. Dominio
2. Puntos de corte
3. Continuidad y asíntotas
4. Monotonía y extremos relativos
5. Convexidad y puntos de inflexión
6. Gráfica


REALIZA EL ESTUDIO COMPLETO DE LA SIGUIENTE FUNCIÓN:

1. Su dominio son todos los reales por ser una función polinómica
2. Cortes con los ejes:
 • Con el eje y: f(0) = 1
 • Con el eje x (ceros de f) f(x) =0 ; x^3 - 3x + 1 = 0 (para resolver esta ecuación utilizamos el método de bisección)

3. Es continua por ser polinómica.
Asíntotas verticales no hay por ser polinómica.
Asíntotas horizontales:

Asíntotas oblicuas: no hay

4. Para estudiar la monotonía y los extremos relativos debemos estudiar el signo y los ceros de la derivada de f.
f ' = 3x^2 - 3

5. Para estudiar la convexidad y los puntos de inflexión estudiamos el signo y los ceros de la derivada segunda.
f '' = 6x

6. Gráfica

ESTUDIO COMPLETO DE LA SIGUIENTE FUNCIÓN:

1. Dominio:
Resolvemos el denominador 2x - 3 = 0 ; x = 3/2
Su dominio son todos los reales excepto el punto 3/2


2. Cortes con los ejes
 • Con el eje y : f(0) = -1
 • Con el eje x : f(x) = 0 ; x = -1/3

3. Es continua por ser cociente de polinómicas.
Asíntotas verticales:

Asíntotas horizontales:

Asíntotas oblicuas: no hay

4. Para estudiar la monotonía y los extremos relativos debemos estudiar el signo y los ceros de la derivada de f.

5. Convexidad y puntos de inflexión ( estudiamos la segunda derivada)

6. Gráfica

Clase 27 de mayo de 2016

Querido diario:
seguimos avanzando y aprendiendo un poco más!!

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
El objetivo es encontrar los extremos absolutos de una función continua y derivable (a veces no) restringida a un cierto intervalo.
Los extremos absolutos están en los extremos relativos o en los extremos del intervalo.

Procedimiento:
- Encontrar los extremos relativos (f')
- Evaluar la función f en los extremos relativos y en los extremos del intervalo.

Ejemplo: una empresa vinícola tiene plantadas 1200 cepas de vid en una finca produciendo cada cepa una media de 16 kg de uva. Existe un estudio previo que garantiza que por cada cepa que se añade, las cepas producen de media 0.01 kg menos de uva cada una. Determina el número de cepas que se deben añadir a las existentes para que la producción de uvas sea máxima. ¿ cuál es dicha producción?

Debemos buscar la palabra máximo o mínimo y esa será la función, en este caso la producción máxima será la función P.
Ahora buscamos la variable, la x será el número de cepas que se deben añadir, es decir el número de cepas multiplicado por la producción por cepa.

Ejemplo: calcula el volumen máximo

Clase 26 de mayo de 2016

Querido diario:
seguimos viendo distintas aplicaciones de las derivadas!

CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Una función f se dice convexa hacia arriba (en todo su dominio, en un punto o en un intervalo) si la región superior determinada por su gráfica es convexa.

Región convexa: tendremos una región convexa si el segmento que une dos puntos cualesquiera está contenido en dicha región.

Propiedad: cuando tengo una región convexa hacia arriba la recta tangente está por fuera de la región.

Ejemplo: la convexidad de la función afín: es convexa hacia arriba y hacia abajo.
Ejemplo: la convexidad de x^3: no es convexa ni hacia arriba ni hacia abajo. Podemos decir que es convexa hacia arriba en un intervalo que es [0, + infinito) y es convexa hacia abajo en el (-infinito, 0), el 0 sería un punto de inflexión.

PROPOSICIÓN: una función es convexa hacia arriba si sólo si su derivada es creciente hacia arriba. Una función es convexa hacia abajo si sólo si su derivada es decreciente.

Ahora nos planteamos que X0 sea punto de inflexión de la función si sólo si la segunda derivada de la función en X0 sea 0.

Un contraejemplo sería la función constante x, su derivada primera es 1 y su derivada segunda es 0, sin embargo el 0 no es punto de inflexión.
Otro contraejemplo:

Demostración de la proposición

PROPOSICIÓN:

Clase 23 de mayo de 2016

Querido diario:
ya hemos comenzado el siguiente tema!! Se llama aplicaciones a las derivadas, así que allá vamos!!

Comencemos con una importante proposición:

¿Y si la derivada es 0 que ocurre?

Ejercicio: estudia la monotonía de la siguiente función (el signo y los ceros)

Debemos estudiar la resolución de la ecuación y de la inecuación.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES: MÉTODO DE BISECCIÓN

Si tengo una ecuación como 2x + 1 = 0 para obtener la función hallo sus ceros.
Pero si tengo otra como x^3 + 5x = 3 puedo hallar la antiimagende la función.
¿Pero qué es la antiimagen?

¿Existe que la antiimagen de una función sea el vacío?
Si f(x) = k cualquier número distinto de k es vacío
Si tengo una ecuación de segundo grado cualquier punto situado debajo del vértice sería vacío.

TEOREMA DE BOLZANO/ TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE DARBOUX
El teorema de valor medio de Darboux nos explica que si quiero pasar de un punto menor a otro mayor necesito pasar por un punto intermedio obligatoriamente si quiero hacerlo de manera continua. Si ese punto del que hablamos es 0 entonces se llama Teorema de Bolzano.

MÉTODO DE BISECCIÓN
Dada la siguiente ecuación:

Le asociamos su función (que es continua)




Estamos entre dos puntos desconocidos:

f(X2) > 0
f(0) = 5
Para saber si hay negativos calculamos el límite cuando x tiende a -infinito Y observamos que es - infinito (sí que hay)

Cogemos un punto por ejemplo el 3 y vemos que es negativo en  el 3 y positivo en el 0, por lo que tiene que pasar por el 0, cogemos el intervalo (-3,0) y calculamos el punto medio. Si ese punto es positivo cogería el intervalo (-3,-1'5) y así sucesivamente hasta que el intervalo sea muy pequeño.

Clase 16 de mayo de 2016

Querido diario:
vamos a rematar algunos conceptos de este tema!!

DERIVADA DE SUCESIONES (DERIVADAS ENÉSIMAS)
La derivada enésima se produce cuando tenemos una función f(x) y al derivarla obtenemos f '(x) que también es derivable, la derivados y obtenemos f ''(x) y así sucesivamente...
Vamos a ver esto con algunas funciones  en concreto:

f (x) = 1/x

Al ver el comportamiento de la función al derivarla varias veces sospecho lo siguiente (Hipótesis de inducción) :

Ahora vamos a demostrar esto por inducción:

Pero no sabemos si esto realmente se cumple siempre o solo en unos pocos casos:

EXAMEN CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

Querido diario:
dejo resueltos los ejercicios del examen que tenía que realizar en casa excepto el número 6, que necesito dedicarle un poco más de tiempo ya que estoy pensando cómo resolverlo.

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3

EJERCICIO 4

EJERCICIO 5

EJERCICIO 7

EJERCICIO 8

EJERCICIO 9 

EJERCICIO 10

Clase 10 de mayo de 2016

Querido diario:
seguimos abordando más conceptos del tema de las derivadas.

DERIVADA DE 3 FUNCIONES

Ejemplo:

POTENCIACIÓN DE DERIVADAS

Ejemplo:

TRANSMISIÓN DEL CONOCIMIENTO: DIFUSIÓN CIENTÍFICA

Querido diario:
aquí dejo el guión que propongo sobre este tema.

ÍNDICE

- El conocimiento
    • ¿ Qué es?
    • ¿ Qué es el aprendizaje?

- La transmisión
    • ¿ Qué significa transmitir?
    •Transmisión de la información a lo largo de la historia
        ☆Prehistoria
        ☆ Aparición de la escritura
        ☆ Edad Antigua (Grecia)
        ☆ Edad Media (monasterios, universidades, imprenta)
        ☆ Edad Moderna (Ilustración)
        ☆ Edad Contemporánea (Internet)

- La ciencia
    • ¿ Qué es la ciencia?
    • Método científico
    • Principales asociaciones científicas actuales

Clase 9 de mayo de 2016

Querido diario:
hoy vamos a estudiar las derivadas de todas las funciones trigonométricas.

FUNCIÓN SENO
La función derivada del seno es el coseno.

FUNCIÓN COSENO
La función derivada es -sen.

FUNCIÓN TANGENTE
La función derivada es secante elevado al cuadrado, 1/ coseno al cuadrado o 1 + tangente al cuadrado.

Demostración:

FUNCIÓN COSECANTE
La función derivada es -cos/ sen al cuadrado.

FUNCIÓN SECANTE
La función derivada es sen/cos al cuadrado.

FUNCIÓN COTANGENTE
La función derivada es -1/sen al cuadrado o -cosecante al cuadrado.

FUNCIÓN ARCOSENO

Demostración:

FUNCIÓN ARCOCOSENO

FUNCIÓN ARCOTANGENTE

Demostración:

TABLA RESUMEN DERIVADAS