Clase 26 de mayo de 2016

Querido diario:
seguimos viendo distintas aplicaciones de las derivadas!

CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Una función f se dice convexa hacia arriba (en todo su dominio, en un punto o en un intervalo) si la región superior determinada por su gráfica es convexa.

Región convexa: tendremos una región convexa si el segmento que une dos puntos cualesquiera está contenido en dicha región.

Propiedad: cuando tengo una región convexa hacia arriba la recta tangente está por fuera de la región.

Ejemplo: la convexidad de la función afín: es convexa hacia arriba y hacia abajo.
Ejemplo: la convexidad de x^3: no es convexa ni hacia arriba ni hacia abajo. Podemos decir que es convexa hacia arriba en un intervalo que es [0, + infinito) y es convexa hacia abajo en el (-infinito, 0), el 0 sería un punto de inflexión.

PROPOSICIÓN: una función es convexa hacia arriba si sólo si su derivada es creciente hacia arriba. Una función es convexa hacia abajo si sólo si su derivada es decreciente.

Ahora nos planteamos que X0 sea punto de inflexión de la función si sólo si la segunda derivada de la función en X0 sea 0.

Un contraejemplo sería la función constante x, su derivada primera es 1 y su derivada segunda es 0, sin embargo el 0 no es punto de inflexión.
Otro contraejemplo:

Demostración de la proposición

PROPOSICIÓN: