Clases 26, 28 y 29 de enero de 2016

Querido diario:
sigamos con la geometría vectorial!

COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE
Para hablar de coordenadas debemos conocer otros conceptos.
(Vector U pertenece a V2)
Base de V2: sistema libre maximal. Ejemplo:

 vectores con distinta dirección

Base ortogonal de V2: base en la que los dos vectores son ortogonales.

Base ortonormal: base con vectores ortogonales unitarios.

Tenemos dos direcciones físicas:horizontal y vertical.

Coordenadas: aplicación de V2 en R2 (recuerdo que son parejas ordenadas de números reales) 

La suma se conserva:

También el producto por escalar:

Estas operaciones en V2 y R2 son isomorfos (se comportan igual)

*Un vector es una pareja de números reales y aparentemente un número complejo también. Se diferencian en las operaciones: la suma es la misma pero el producto de números complejos los identifica porque en los vectores no hay.

*Si al sumar dos vectores utilizo bases diferentes, al final obtengo el mismo vector.

COORDENADAS DE UN PUNTO

Debemos fijar un sistema de referencia (un punto y una base)

Por lo tanto las coordenadas de un punto P respecto de un sistema de referencia son las coordenadas de OP respecto de la base:

Sistema de referencia ortogonal: aquel cuya base es ortonormal.

Sistema de referencia ortogonal: aquel cuya base es ortogonal.

Según sea la base así es el sistema.

EJES DE COORDENADAS

Con un punto y un vector tenemos una recta.

Ecuaciones vectoriales de los ejes de coordenadas:

Coordenadas del vector libre determinado por dos puntos diferentes

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL MÓDULO DE UN VECTOR

Tengo una base y un vector:

Calcula el punto medio del vector:

ECUACIONES DE LA RECTA

Ecuación vectorial

Ecuaciones paramétricas

Ecuación continua

Ecuación general o implícita( ecuación polinómica de primer grado):

Ecuación punto-pendiente

Ecuación explícita

Es importante saber que la pendiente se calcula : m = a/b

Periodista científico por un día

Querido diario:

el próximo día 1 de febrero acudiremos a una conferencia titulada "¿Se puede computar todo?  de Luis María Abia Llera, catedrático del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Valladolid. Aquí dejo las preguntas que le haría:

- ¿Se nace con la pasión por las matemáticas o con 16 años ya es tarde?

-  ¿Cuándo descubrió usted que las matemáticas iban a ocupar una parte importante de su vida?

-  Como usted nos hablará de máquinas, ordenadores...me pregunto ¿qué problemas pueden resolver las más potentes máquinas?

- ¿Cuáles son los límites de éstas?

- ¿Pueden usarse para nuestro beneficio?

- ¿ Cómo cree que influyen las matemáticas en la sociedad? ¿y en la tecnología?

- ¿Cómo utilizaría sus conocimientos para el bienestar humano?

- ¿Podría hablarse de un código deontológico en las matemáticas o son meramente números?

- Pienso que un pensamiento filosófico complementa a un pensamiento matemático y a la inversa ¿Está usted de acuerdo? ¿Por qué?

- Tras todos sus logros profesionales, investigaciones...¿qué le han aportado las matemáticas a nivel personal?

Gracias por dedicarnos unos "no muy numerosos" momentos de su apretada agenda.

Clase 25 de enero de 2016

Querido diario:
en la clase se hoy hemos visto algunos conceptos más sobre geometría vectorial!

RECTA DETERMINADA POR DOS PUNTOS DISTINTOS

 
Ecuación vectorial de la recta:

 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

Dadas las siguientes rectas: 

Paralelas

Secantes

Coincidentes

VECTOR ORTOGONAL (es una relación binaria)
Un vector se dice ortogonal a otro si la recta que marca la dirección del primero forma un ángulo de 90 grados (es perpendicular) con la recta que marca la dirección del segundo.
Notación:

Es una relación simétrica por lo tanto tengo la siguiente proposición:

 Son ortogonales

SISTEMA DE VECTORES

Es un subconjunto de vectores en el que admitimos que los vectores se pueden repetir y que importa el orden.

Ejemplos: 

Sistema libre de vectores

Para comprender este concepto debemos entender antes algunas cosas.

Ejercicio: expresa el vector nulo como combinación lineal de cada uno de los sistemas anteriores (teniendo en cuenta que los vectores tienen distinta dirección)

Detecta en qué casos es posible expresarlo con un escalar distinto de 0:

Sistema libre: sistema de vectores en el que el vector nulo se puede expresar como combinación lineal de dichos vectores con escalares 0 de forma única. 

(En el ejemplo anterior el primero, segundo y cuarto son sistemas libres)

Cuando un sistema no es libre lo llamamos sistema ligado.

Proposición: si a un sistema libre le quito un vector, el nuevo sistema obtenido es libre.

Los sistemas libres de un solo vector son siempre libres excepto el vector nulo que es ligado.

Sistema libre maximal: sistema libre en el que al añadir un nuevo vector deja de ser libre (es ligado)

Cuando tengo un sistema libre a sus vectores los llamo linealmente independientes.

Es lo mismo decir que U1 y U2 son linealmente independientes y que el sistema que forman U1 y U2 es un sistema libre.

Ligado: linealmente dependiente.

Clase 22 de enero de 2016

Querido diario:
sigamos con la geometría vectorial! El otro día acabamos con unos ejercicios sobre esto...vamos a hacer alguno más!

Ejercicio: dados tres puntos A,B,C distintos entre ellos y no alineados encuentra D tal que:

Ejercicio: expresa [AD] como combinación lineal de los vectores [AB] + [AC]

Ejercicio: expresa V como combinación lineal de U1 .

No se puede porque las combinaciones lineales son de la forma alfa*U y tienen que tener la misma dirección y en este caso no la tienen.

Ejercicio: expresa W como combinación lineal de U1.

Ejercicio: expresa V como combinación lineal de U1 y U2 (tienen diferente dirección y no son nulos)

Debemos llevar todos los vectores al mismo punto, remarcar las direcciones de U1 y U2 (alargarlas). Fijándome en el extremo del vector trazo paralelas. (Paralelogramo)

**Siempre que me den dos vectores no nulos con diferente dirección, cualquier vector se puede poner como combinación lineal de esos dos y además de forma única. 

Ejercicio: con U1 y U2 anteriores expresa como combinación lineal U1, U2 y vector nulo.

Recta: determinación lineal

Ejercicio: Dibuja la recta que queda determinada partiendo de un vector libre distinto de 0 y un punto A.

De aquí obtengo la ecuación vectorial de la recta r:

(Si le doy valores a alfa salen todos los puntos de la recta)

Clase 21 de enero de 2016 (II)

Querido diario:

 hoy nuestro profesor nos ha dejado planteadas algunas preguntas relacionadas con lo dado en clase.

¿QUÉ ES UNA RELACIÓN BINARIA?

Es la relación R que existe entre dos elementos a y  b, de dos conjuntos A y B respectivamente. El elemento a está relacionado con b. Se puede escribir de varias maneras:

- Como pares ordenados (a,b)

- Indicando que aRb

- Una mezcla entre los anteriores R (a,b)

Esta relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier concepto referido con el conjunto.

Se puede representar de dos formas:

* Diagrama cartesiano: se representan los ejes y después en cada eje los elementos de cada conjunto. Las relaciones se representan mediante puntos.

* Diagrama sagital o flechas mediante el Diagrama de Venn: se representan los elementos dentro de un círculo y las relaciones mediante flechas.

Propiedades (no tienen por qué cumplir todas, incluso pueden no cumplir ninguna), dado un conjunto A y una relación R entre el conjunto AXA.

● Reflexiva: todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo (para todo elemento de A x, entonces xRx)

● Simétrica: dados dos elementos cualquiera del conjunto A se cumple que si el primer elemento está relacionado con el segundo, el segundo está relacionado con el primero. Si xRy entonces yRx

● Antisimétrica: dados dos elementos del conjunto si el primer elemento está relacionado con el segundo, el segundo no está relacionado con el primero. Si xRy entonces y no Rx 

● Transitiva: dados tres elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, y el segundo relacionado con el tercero, entonces el primero también está relacionado con  el tercero. Si xRy e yRz entonces xRx

● Conexa: dados dos elementos cualesquiera del conjunto éstos están relacionados. O bien xRy o bien yRx

¿QUÉ ES UNA OPERACIÓN BINARIA?

Es aquella en la que intervienen dos operandos.

Dados tres conjuntos A, B,  C una operación binaria producto es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un sólo valor c de C.    A x B ------  C

 Clasificación:

Internas

A cada par de valores (a,b) de A^2 le corresponde un valor c de A

A x A ---- A

(a,b) ---- c = a*b

También se le llama ley de composición interna, por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones V^3 y la adición de vectores se tiene que la suma de dos vectores de V^3 es otro vector de V^3:

V^3 x V^3 ---- V^3

(a,b) ---- c = a + b

Externas

- Si a cada par de valores a de A y b de B se le asigna un valor c de A

A x B ---- A

(a,b) ---- c = a*b

También se le llama ley de composición externa, por ejemplo un vector por escalar 

V^3 x V^3 ---- V^3

(a,b) ---- c = a * b

- Si la operación es de la forma 

A x A ---- B

(a,b) ---- c = a*b 

Cada par de valores a,b de A se le asigna un c de B. Esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real.

-Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conjuntos distintos.

AxB ---- C

(a,b) ---- c = a*b 

Tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional.

Clase 21 de enero de 2016

Querido diario:
como el otro día comenzamos a con los vectores así que hoy toca hablar sobre las operaciones que se pueden realizar.
SUMA
Para sumar vectores libres debo coger un representante en el origen o en el extremo.

La suma será el vector cuyo origen es el origen del primero y su extremo será el extremo del segundo.




También podemos sumar vectores por la regla del paralelogramo (mismo origen) :

* No es posible si los 2 vectores tienen la misma dirección.

Propiedades de la suma:

- Operación bien definida: el resultado es único.

- Conmutativa u + v = v + u

- Asociativa

- Elemento neutro: es el vector nulo 0 o el AA

- Opuesto: 

RESTA (en realidad es sumar el opuesto)

 

La resta será un vector cuyo extremo vaya del extremo de u al extremo de v y el origen de v esté en el origen de u.





PRODUCTO POR ESCALAR (escalar es un número real)

La solución será un vector libre que dependerá de si alfa es positivo negativo o 0. Si es 0 obtengo el vector nulo. Si es positivo es un vector  que tiene misma dirección y sentido. Si es negativo tendrá la misma dirección y sentido contrario.

El módulo se calculará así:

Vector unitario: vector cuyo módulo es 1.

Y me pregunto...

¿Dada una dirección cuántos vectores unitarios hay? 2, uno por cada sentido.

Para conseguir un vector unitario: 

(Será un vector con misma dirección y además unitario)

COMBINACIÓN LINEAL

Ejercicio: si tengo dos puntos del plano A y B distintos, busca un punto C tal que ocurra lo siguiente: