Clase 12 de enero de 2016

Querido diario:
ayer estuvimos hablando sobre las aplicaciones y en concreto sobre las inyectivas.
Hoy hemos comenzado hablando de la función seno y vamos a ver por qué no es una aplicación inyectiva:

Podemos observar el conjunto inicial representado en el eje x y el conjunto final representado en el eje y.
Para comprobar de forma gráfica si es inyectiva trazamos una recta horizontal que desplazamos hacia arriba y abajo. Para que sea una aplicación inyectiva debe cortar una o ninguna vez.
En este caso corta varias veces por lo tanto no es inyectiva.


También podemos ver un ejemplo de aplicación inyectiva en la función y = f(x)= 2x+1 (función polinómica de primer grado que se representa con una recta):

Podemos observar que sólo corta una vez por lo que es una aplicación inyectiva.






Ya sabemos ver de forma gráfica si una aplicación es inyectiva ¿pero cómo lo sabemos si tenemos su expresión analítica?
f es inyectiva si :

Si dos elementos son distintos sus imágenes son distintas.



Su contrarrecíproca sería:

Ejemplo para comprobar si una función es inyectiva o no :

Ahora hablaremos de la función inversa ("dar la vuelta a las flechas").
Si "le doy la vuelta" a una aplicación" la correspondencia obtenida no tiene por qué ser una aplicación porque depende de donde salgan las flechas de la correspondencia inicial (pueden salir varias flechas del mismo elemento en el conjunto inicial y también llegar varias flechas a un elemento en el conjunto final). Para que "al darle la vuelta" a una aplicación sea aplicación debe ser inyectiva.
Relacionado con esto vamos a hablar de la función arco-seno ("dar la vuelta al seno"). Al "dar la vuelta al seno" no obtenemos una función. Debemos hablar entonces de la función restringida a un intervalo, que es reducir el dominio.
Vamos a buscar un intervalo lo más grande posible de manera que la función a ese intervalo sea una función inyectiva. El intervalo que buscamos es desde el punto más bajo al más alto. En esta función hay infinitos intervalos como por ejemplo :

Son funciones restringidas que son arco-seno (la que siempre coge la calculadora es la primera)