Clase 29 de febrero de 2016

Querido diario:
comenzamos la clase hablando de las sucesiones divergentes, que son aquellas que se acercan a +- infinito, es decir que su límite es +- infinito.
Cuando se acerca a + infinito los términos cada vez son más grandes (no está acotado superiormente).
Cuando se acerca a - infinito los términos cada vez son más negativos (no está acotado inferiormente)
Entorno de + infinito: ( K, + infinito)
Entorno de - infinito: ( -infinito, k) (K pertenece a los números reales)

Un ejemplo de sucesión cuyo límite es + infinito sería {n}, y otra cuyo límite es - infinito sería {-n}. Se expresa asi:

Sucesión oscilante: aquella que no es divergente ni convergente. Por ejemplo (-1)^n sus términos serían -1,1,-1,1... no se acerca a uno ni a otro.

Propiedades de las sucesiones convergentes:

● Una sucesión constante es un claro ejemplo de sucesión convergente.

● Proposición: si tengo una sucesión creciente y que está acotada superiormente, entonces es convergente. 

Por el contrario si tengo una sucesión decreciente y acotada inferiormente también es convergente.

Por ejemplo la sucesión ( 1 + 1/n) ^n es convergente porque es creciente y está acotada superiormente (sus primeros términos son 2/2,25/2,37/2,44/2,48...

Ese número del que hablamos al que se acerca es el número e (su valor es 2,71).

● Si tengo una sucesión convergente su límite es único.

● Sucesión convergente implica acotada

Clase 26 se febrero de 2016

Querido djario:
 llegamos al punto más importante!!

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
El término límite se refiere en forma coloquial "acercarse a".
Por ejemplo la sucesión {1/n} tiende a 0.
Elementos que hay en una sucesión:

Notación que utilizaremos:

Entorno de un número por ejemplo 0: 

Cogeremos el entorno de forma:

Límite: una sucesión  se acerca a un número cualquiera, todos los términos de la sucesión pertenecen a ese entorno a partir de uno dado.

¿Cómo expresar un límite?

O también: 

Entorno simétrico: 

Otro ejemplo:

Clase 25 de febrero de 2016

Querido diario:
sigamos avanzando en el tema de las sucesiones!

Hoy hemos comenzado estudiando la acotación y monotonía de la siguiente sucesión:

¿Pero cómo puedo comprobar con una demostración que es estrictamente decreciente?

Vamos a hacer ahora el ejercicio 8 de la página 222:

OPERACIONES CON SUCESIONES

SUMA
Es sumar término a término, como en la suma de números reales.

Propiedades: Asociativa, conmutativa, elemento neutro (sucesión constante 0) y elemento opuesto.

Ejemplo (ejercicio 9 página 223):

RESTA (sumar el opuesto)

PRODUCTO  (Es como el producto en números reales)

Propiedades: conmutativa, asociativa, elemento neutro, distributiva. No hay inverso como tal  porque no todos lo tienen, sólo los que no tienen ningún término 0.

Ejemplo:

Clase 23 de febrero de 2016

Querido diario:
hemos comenzado un nuevo tema llamado sucesiones, límites. Lo iré explicando y haciendo los ejercicios del libro.

SUCESIÓN
Es una secuencia de números reales, ordenados uno detrás de otro. Cada número se denomina término.
Llamamos término general a:

¿Cómo expresar una sucesión? Hay 3 formas:

- Descripción de sus términos: conocemos una propiedad que caracteriza a cada uno de los términos.

- Término general: conocemos una fórmula a partir de la cual podemos conocer cualquier término de la sucesión.

- Recurrencia: conocemos una relación entre cualquier término y los anteriores.

Imagen de una aplicación

Una sucesión la identificamos con su imagen.

Ejercicio 1 página 222

Sucesiones acotadas

• Una sucesión está acotada superiormente si todos los términos son menores o iguales que un número K. K es la cota superior.

• Una sucesión está acotada inferiormente si todos los términos de la sucesión son mayores o iguales que un número K, al que llamamos cota inferior.

•  Una sucesión está acotada si lo está superior e inferiormente.

Un ejemplo de subconjunto que no esté acotado superiormente serían los números naturales o el intervalo (3, infinito). Un ejemplo de un subconjunto que no esté acotado inferiormente sería el intervalo ( -infinito, 3).

Si un número es cota inferior, cualquier número menor que él será cota inferior.

- La menor de las cotas superiores se llama supremo.

Si el supremo pertenece al conjunto se llama máximo.

- La mayor de las cotas inferiores se llama ínfimo.

Si el ínfimo pertenece al conjunto se llama mínimo.

Ejemplo: estudia la acotación de esta sucesión: {1/a}

Superiormente el 1 es supremo y además máximo. Inferiormente el 0 es ínfimo.

MONOTONÍA DE UNA SUCESIÓN

- Sucesión monótona creciente: cada término es menor o igual que el término siguiente.

- Sucesión monótona estrictamente creciente: cada término es menor que el término siguiente.

- Sucesión monótona decreciente: cada término es mayor o igual que el siguiente.

- Sucesión monótona estrictamente decreciente: cada término es mayor que el siguiente. 

Ejercicio 4 página 222

Clase 12 de febrero de 2016

Querido diario:
el tema de hoy es la hipérbola!
Es el lugar geométrico que :

Ecuación reducida de la hipérbola: 

Asíntotas: son las ramas que crecen sin fin y sus ecuaciones son: 

Excentricidad: mide la abertura de sus ramas y siempre es mayor que 1. Su fórmula es  e = c / a

Hipérbola equilátera

Es la que tiene iguales sus dos semiejes. 

La ecuación al ser a = b adquiere la expresión 

Sus asíntotas pasan a ser y = x ,  y = -x (son las bisectrices del primer y segundo cuadrante, por lo que son perpendiculares.

Aplicando a la hipérbola equilátera un giro de 45° obtenemos: 

Ecuación tangente: 

Ecuación normal: 

Clase 11 de febrero de 2016

Querido diario:
hoy comenzamos con el tema de cónicas!

LUGARES GEOMÉTRICOS
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinada condición.
Mediatriz

Lugar geométrico que:

Recta perpendicular al segmento AB en su punto medio.
Se cumple que la distancia entre P y A es la misma que entre P y B.
Ejemplo:

Bisectriz

Lugar geométrico que cumple:

Dos rectas perpendiculares entre sí que son las bisectrices de los ángulos que forman las rectas dadas.

Se cumple que la distancia de P a r es la misma que de P a s.

Proposición: 

ELIPSE

Es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F' (focos) es una cantidad constante:

Como el triángulo formado OFB es rectángulo se verifica:

**Importante recordar que la suma de las distancias a los focos es 2a

Ecuación reducida: 

Excentricidad: es el achatamiento de la elipse, su valor es entre 0 y 1 y se halla mediante la fórmula  e = c / a

Ejercicios tema 7

EJERCICIO 3

EJERCICIO 5

EJERCICIO 6

EJERCICIO 7

EJERCICIO 9

Ejercicios tema 7

Querido diario:
empezaré a dejar los ejercicios del tema poco a poco!
EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

Clase 5 de febrero de 2016

Querido diario:
hoy terminamos el tema de geometría analítica y vectorial!

¿Cómo calcular el vector si nos dan la ecuación?

¿y si nos dan la ecuación general?
Ax + By + C =0
Vector direccional r : (-b,a)
Vector normal r : (a,b)










Distancia de un punto a una recta partiendo de la expresión Ax + By + C =0

VECTOR PROYECCIÓN DE U SOBRE V
Es otro vector que depende del ángulo que forman los vectores u, v
Si el ángulo es agudo tendrá misma dirección y sentido que V, si es obtuso tendrá misma dirección y sentido contrario a V, si es recto será el vector nulo.

INTERPRETACIÓN DE PENDIENTE
La pendiente es la tangente :

PERPENDICULARIDAD SEGÚN PENDIENTES