Clase 19 de enero de 2016 (I)

Querido diario:
hoy vamos a seguir hablando de los números complejos.
Antes de explicar las formas polar y trigomometría debemos explicar antes unos conceptos:
Módulo: es la longitud del segmento. Se representa por m = |z| y vale

Argumento: es el ángulo que forma el semieje positivo real con el segmento (del módulo), medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Se representa por a = arg(z) y se calcula: 

Podemos observar el módulo (rojo) y el argumento (rosa) 

 

Forma polar

Módulo m y argumento a 

Forma trigonométrica

¿Cómo pasar de forma binómica a polar o trigonometrica?

Se calcula el módulo y el argumento del número complejo:

¿Cómo pasar de forma polar o trigonométrica a binómica?

Ejemplo: 

Producto de complejos en forma polar: es otro complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos.

Cociente de complejos en forma polar: es otro complejo cuyo módulo es el cociente de los módulos y cuyo argumento es la resta de los argumentos.

Potencia de complejos en forma polar: es otro complejo en el que su módulo es la potencia n-ésima del módulo y su argumento n veces el argumento del complejo dado. 

Fórmula de Moivre

Si expresamos el resultado de la potencia lo hacemos en forma trigonométrica: 

Pero si tomamos m = 1 obtenemos la siguiente fórmula: 

Radicación de complejos en forma polar

Lo primero que debemos hacer es poner el número complejo en forma polar y realizar lo siguiente: 

Utilizando la potencia de números complejos en forma polar obtenemos:

Finalmente aplicando la igualdad de números en forma polar:

Por lo tanto las raíces n-ésimas de un número son:

Ecuaciones con números complejos

El número de soluciones de cualquier ecuación algebraica coincide con el grado de la ecuación. El primero que lo demostró fue Gauss y así se formó el teorema fundamental del álgebra:

Ejemplo: