Clase 19 de enero de 2016 (II)

Querido diario:
comenzamos nuevo tema! El título es geometría analítica en el plano así que comencemos!
Debemos saber que la geometría del plano puede ser de tres tipos: clásica o euclídea, vectorial y analítica (que vamos a abordar en este tema)
VECTORES
Pueden ser fijos o libres.
Vector fijo: pareja ordenada de puntos del plano.
Notación:

Elementos:
- Origen A
- Extremo B
- Dirección: sería la recta y todas sus paralelas
- Sentido: es el que marca la flecha
- Módulo: longitud del segmento
* Si tenemos un vector cuyos puntos son iguales y no tiene ni dirección ni sentido lo llamamos vector nulo (su módulo es 0)

Para hablar de los vectores libres debemos hablar antes de otros conceptos.
Relación de equipolencia: si tengo dos vectores fijos AB y CD se dice que AB es equipolente a CD cuando coincide la dirección, el sentido y el módulo.
Notación:

Propiedades de la relación de equipolencia:

- Reflexiva: todo vector fijo está relacionado consigo mismo.

- Simétrica: si un vector fijo es equipolente a otro, este otro es equipolente al primero. Podemos decir que son equipolentes (utilizamos el plural porque es una relación simétrica).

- Transitiva: si un vector fijo es equipolente a otro y éste lo es a un tercero, el primero es equipolente al tercero.

*Cuando una relación binaria tiene estas 3 propiedades la llamamos relación de equivalencia.

Clase de equivalencia: conjunto de todos los vectores equipolentes con AB.

Notación: 

Proposición: 

Vector libre: clase de equivalencia de un vector fijo. Notación:

El conjunto de todos los vectores libres del plano se llama V 2(subíndice)

Podemos concluir diciendo que la geometría vectorial es la que se hace con vectores libres del plano.

Clase 19 de enero de 2016 (I)

Querido diario:
hoy vamos a seguir hablando de los números complejos.
Antes de explicar las formas polar y trigomometría debemos explicar antes unos conceptos:
Módulo: es la longitud del segmento. Se representa por m = |z| y vale

Argumento: es el ángulo que forma el semieje positivo real con el segmento (del módulo), medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Se representa por a = arg(z) y se calcula: 

Podemos observar el módulo (rojo) y el argumento (rosa) 

 

Forma polar

Módulo m y argumento a 

Forma trigonométrica

¿Cómo pasar de forma binómica a polar o trigonometrica?

Se calcula el módulo y el argumento del número complejo:

¿Cómo pasar de forma polar o trigonométrica a binómica?

Ejemplo: 

Producto de complejos en forma polar: es otro complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos.

Cociente de complejos en forma polar: es otro complejo cuyo módulo es el cociente de los módulos y cuyo argumento es la resta de los argumentos.

Potencia de complejos en forma polar: es otro complejo en el que su módulo es la potencia n-ésima del módulo y su argumento n veces el argumento del complejo dado. 

Fórmula de Moivre

Si expresamos el resultado de la potencia lo hacemos en forma trigonométrica: 

Pero si tomamos m = 1 obtenemos la siguiente fórmula: 

Radicación de complejos en forma polar

Lo primero que debemos hacer es poner el número complejo en forma polar y realizar lo siguiente: 

Utilizando la potencia de números complejos en forma polar obtenemos:

Finalmente aplicando la igualdad de números en forma polar:

Por lo tanto las raíces n-ésimas de un número son:

Ecuaciones con números complejos

El número de soluciones de cualquier ecuación algebraica coincide con el grado de la ecuación. El primero que lo demostró fue Gauss y así se formó el teorema fundamental del álgebra:

Ejemplo:

Clase 18 de enero de 2016

Querido diario:
como en clases anteriores hemos empezado a hablar de los números complejos, comenzaremos con las operaciones de los mismos.
SUMA
Si tenemos la forma binómica se suman las partes reales por un lado y las imaginarias por otro, lo mismo sucederá si lo tenemos en forma de parejas. (Podemos ver que es igual que la suma de números reales)

Propiedades de la suma:
-  Conmutativa
Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:

- Asociativa:

Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:

- Elemento neutro:

Es 0 + 0i (0) porque:

- Elemento opuesto:

RESTA

Se restan entre sí las partes reales y las imaginarias.

PRODUCTO

*Recuerdo que i^2 = -1 por ello bd es negativo.

Propiedades

- Asociativa

-Distributiva

- Elemento neutro 

Es 1 + 0i = 1 podemos comprobarlo:

- Elemento simétrico: inverso

Dado un complejo z distinto  de 0 ¿ existe otro complejo tal que al multiplicar por z de 1? Si la respuesta fuese sí, ese número sería el inverso de z y lo llamamos w o z^-1

Por lo tanto w lo podemos entender como una división 1/z

DIVISIÓN

Podemos hacerlo de dos formas:

 - mediante la definición de w

Por lo tanto para obtener el inverso de un complejo utilizamos la siguiente fórmula:

- otra forma es multiplicando por el conjugado:

Ejercicios tema 6- Números complejos

Querido diario:
he comenzado a hacer algunos ejercicios de este nuevo tema, a medida que sigamos avanzando los iré subiendo en esta misma entrada.

EJERCICIO 1: Calcula las siguientes sumas y diferencias

EJERCICIO 3: Completa la tabla

Corrección:

EJERCICIO 2: Halla estos productos y cocientes.

EJERCICIO 4: Sabiendo que u = 3-4i   v=-3i   w= 1-I

EJERCICIO 5:  calcula el valor de las siguientes expresiones

EJERCICIO 6: resuelve las siguientes cuestiones

EJERCICIO 7: Completa la tabla

EJERCICIO 9: efectúa las siguientes operaciones expresando los resultados en forma binómica

EJERCICIO 10: expresa el resultado de estas operaciones en forma polar

EJERCICIO 11: calcula las siguientes raíces

Clase 15 de enero de 2016

Querido diario:

comenzamos con los números complejos!! Antes de empezar debemos recordar:

Los números complejos son una ampliación de los reales.

Por ejemplo si tenemos la siguiente ecuación que no tiene solución en R:

i es un número imaginario 

Ahora vamos a plantear otra ecuación:

No tiene tampoco solución en los números reales pero podemos manipularla y pensar lo siguiente:

Antes vimos que la raíz de -1 la podemos representar con la letra i así que lo sustituimos en la ecuación que teníamos:

Mediante la propiedad distributiva podemos obtener estos resultados.

Por lo tanto podemos definir un número complejo como: a + b*i (esta es la forma binómica a la que llamamos z)

a es la parte real del complejo z (a = Rez)

b es la parte imaginaria del complejo z (b = Imz)

La parte imaginaria es la opuesta de la parte real y así obtenemos el concepto de conjugado de un número complejo:

A partir de la forma binómica también podemos expresar un número complejo en forma se pareja ordenada de números reales:

Después de ver todo esto me pregunto ¿todo número real es complejo? Sí que lo es, veamos la demostración:

 

También podemos ver que 0 + b*i = b*i

se llama imaginario puro (su parte real es 0)

Representación gráfica de un número complejo: